连续函数考什么条件(保号性定理是什么?)

保号性定理是什么?

牛顿370、保号性定理是什么?


保号性定理是什么?

保号性定理是什么?


费马引理(百度百科):

通过证明可导函数的每一个可导的极值点都是驻点(函数的导数在该点为0),该定理给出了一个求出可微函数的最大值和最小值的方法。

…证、明、证明:见《欧几里得6》…

(…《欧几里得》:小说名…)


…可导:若f(x)在x0处连续,则当a趋向于0时,[f(x0+a)-f(x0)]/a存在极限,则称f(x)在x0处可导…见《牛顿360》…

…函、数、函数:见《欧几里得52》…

…驻、点、驻点:见《牛顿368》…

…导、数、导数:见《牛顿288~294》…

…定、理、定理:见《欧几里得2》…

…方、法、方法:见《欧几里得2、3》…

保号性定理是什么?

保号性定理是什么?

因此,利用费马引理,求函数的极值的问题便化为解方程的问题。

需要注意的是,费马引理仅仅给出了函数在某个点为极值的必要条件。

…必、要、必要,条、件、条件,必要条件,费马引理给出了函数在某个点为极值的必要条件:见《牛顿369》…


也就是说,有些驻点可以不是极值点,它们是拐点。

…拐点:使函数凹凸性改变的点…见《牛顿368》…

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费马引理陈述


函数f(x)在点a的某邻域U(a)内有定义,并且在a处可导,如果对于任意的x∈U(a),都有f(x)≤f(a)[或f(x)≥f(a)],那么f '(a)=0。

…定、义、定义:见《欧几里得28》…

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证明

…证、明、证明:见《欧几里得6》…


设f(x)在ξ处极大,故不论Δx是正或负,总有f(ξ+△x)≤f(ξ)

…ξ:大写Ξ,小写ξ,是第十四个希腊字母,中文音译:克西。

小写ξ用于:数学上的随机变量…

…△:读音是“德尔塔”。音标为/deltə/。

在物理学中,△常常作为变量的前缀使用,表示该变量的变化量,如:△t(时间变化量)、△T(温度变化量)、△X(位移变化量)、△v(速度变化量)等等…见《牛顿8》…


f(ξ+△x)≤f(ξ)

→f(ξ+△x)-f(ξ)≤0


设△x˃0,

则[f(ξ+△x)-f(ξ)]/△x ≤ 0


由极限的保号性有

f '+(ξ)=lim(△x→0+) [f(ξ+△x)-f(ξ)]/△x ≤ 0 (1)

…极、限、极限:见《牛顿202~321》…

…性:1.物质所具有的性能;物质因含有某种成分而产生的性质:黏~。弹~。药~。碱~。油~。2.后缀,加在名词、动词或形容词之后构成抽象名词或属性词,表示事物的某种性质或性能:党~。纪律~。创造~。适应~。优越~。普遍~。先天~。流行~…见《欧几里得10》…

…lim:limit…

[…limit(英文):n.限度;限制;极限;限量;限额;(地区或地方的)境界,界限,范围。

v.限制;限定;限量;减量…]


保号性(百度百科):保号性是指满足一定条件(例如极限存在或连续)的函数在局部范围内函数值的符号保持恒正或恒负的性质。

…连、续、连续:见《欧几里得44》…

…性、质、性质:见《欧几里得37》…

保号性定理是什么?



保号性定理是什么?——网友提问

…定、理、定理:见《欧几里得2》…


2021-10-28,胖憨憨77:

函数极限的保号性是指满足一定条件(例如极限存在或连续)的函数,在局部范围内,函数值的符号保持恒正或恒负的性质。


通俗的说:

对于函数f(x),当x趋向于0(x→0)时,函数是正数,那么在0的周围范围内该函数的值还是正数。

首先,注意理解这个周围,这个周围是指0的左右两边,如果题目极限说趋向于0+,那么周围指的就是从正数趋向于0的那部分。

其次,周围范围内是一个很小的范围,很小很小,小到无法用语言形容。

最后,在那个很小的范围内,我们可以近似把函数看成连续的。

保号性定理是什么?

保号性定理是什么?


极限的保号性定理?——网友提问


【答案】x趋近x0时函数极限等于A→A>0时f(x)>0;A<0,f(X)<0
极限值与函数值同号。

保号性定理是什么?

保号性定理是什么?


“极限的保号性,常常被叫做极限的局部保号性,但由于极限本来就是在局部定义的,因此省略掉“局部”二字,叫极限的保号性也没错。

请看下集《牛顿371、极限的保号性,极限的局部保号性,保号性定理》”


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你了解函数的一致连续性吗? 下面的内容只要你认真读了,我保证你能更加了解一致连续性。 要说到函数的一致连续性,首先我们要了解函数的连续性。什么叫函数的连续性呢?下面我们先给出定义。 函数连续性定义: 设函数f(x)在点a的某个领域内有定义,且对于∀ε>0,∃δ>0,对于∀x (|x-a|<δ时),有|f(x)-f(a)|<ε,那么称函数f(x)在点a处连续。 从上面的定义我们知道,δ>0的值一般与两个因素有关,即ε与点a有关,只有这两数值给定了,才能找出符合条件的δ的值。那么是否存在一个只与ε有关,而与区间X上一切点都无关的δ值呢?也就是说对于区间上任意两点x'与x'',只要|x'-x''|<δ,就有|f(x')-f(x'')|<ε? 存在那是肯定的,当然了,这也是与函数性质以及所给区间有关系的。 我们先来简单讨论一下,分2步去做。 第一步、 对于某一函数f(x)在区间X上连续,我们先取定一个ε,我们再在区间X上任找一点x',这样我们就得到不等式|f(x)-f(x')|<ε,并解之,可以得到满足条件的δ,即在点x'以δ为半径的领域内的所有点都满足|f(x)-f(x')|<ε。 第二步、 把区间内的每个点都照第一步那样去做,我们会得到一个集合{δ}={|x-x'| | |f(x)-f(x')|<ε;x、x'∈X}, 并取其下确界,令δ=inf {δ},那么δ就是满足条件的值,即对于给定的ε,在区间X中的任意两点x'与x'',只要|x'-x''|<δ,就有f(x')-f(x'')|<ε。 当然了,这是也与所给区间有关系,同一函数给的区间不一样,结果可能不一样,可能上面的集合{δ}的下确界为0,那么就没有满足条件的δ了。 我们按照上面的步骤,举个例子。 对于函数f(x)=1/x,我们给定区间[1,2],并给定一个值ε=0.1,当然了,ε可以是任意正数,按照上面我们先在点1处解出满足条件的δ,即|1/x-1|<0.1,那么我们容易得到δ=1/9,在点2处由|1/x-1/2|<0.1得到δ=1/3,其实易知随着所给定点变大,δ也随之变大,因此我们知道集合{δ}下确界为1/9,因此我们知道函数f(x)=1/x,在区间[1,2]中,对于我们给定的ε=0.1,只要取δ≤1/9,|x'-x''|<δ,我们就有f(x')-f(x'')|<ε=0.1。其实由讨论知,不论我们给定ε何值,我们总能找到一个δ值,满足f(x')-f(x'')|<ε。当然了,要是换一个区间,那就不行了,比如在区间(0,1)上,由上面的两步,我们得到下确界为0,因此不存在δ值,满足f(x')-f(x'')|<ε。 其实由上面的两步讨论,我们很容易知道,要想某一函数在某一区间上一致连续充要条件是,函数f(x)在区间X上连续左右端点的右极限与左极限存在。下一章我们会去证明。 由上面的讨论,我们不难给出函数一致连续性的定义。 设函数f(x)在区间X上有定义,若对于任意给定的ε>0,存在δ>0,对于区间X上的任意两点x'与x'',只要|x'-x''|<δ,那么就有|f(x')-f(x'')|<ε,那么称函数f(x)在区间X上一致连续。 对比函数连续性与一致连续性定义我们很容易看出,函数连续不一定一致连续,但是一致连续的函数必定连续。 对于上面我们作出的两步分析,只要看懂了,其实一致连续就完全懂了,不管怎么变,都能迎刃而解。 其实有了有了上面的分析,我们还能推出,某一函数要是在区间X上存在最大变化率,那么这函数在这区间X上必定一致连续。这样我们可以导出下面的定理。 可导函数的一致连续连续性判断方法。 设函数f(x)在区间X上可导且导函数为f'(x),如果f'(x)在区间X上有界,那么函数f(x)为区间X上的一致连续函数。 后面我们将会给出证明。

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